Determinação do tamanho amostral

Exercícios

1. Uma grande organização de pesquisas deseja prever o resultado de uma próxima eleição nacional (em termos da proporção de eleitores que votarão em cada candidato). Eles pretendem usar um intervalo de confiança de 95% com margem de erro de no máximo 2,5%. Qual é o tamanho mínimo de amostra necessário para atingir esse objetivo?
Resposta

Nesse caso não foi fornecido o tamanho da população. Logo, iremos considerar uma população infinita. O quantil da normal padrão é de 1,96 considerando uma confiança de 95%. Ainda, iremos considerar um proporção de sucesso igual a de fracasso, ou seja, \(\pi=0,5\). Então tem-se:

\[ n = \frac{1,96^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,025^2} \approx 1537 \]

Utilizando o programa R podemos utilizar a função sizen disponibilizada no site da disciplina.

sizen(parameter='proportion',pii=0.5,me=0.025)

## [1] 1537

2. Uma máquina de encher pneus, quando devidamente calibrada, enche os pneus até 32 lbs, mas sabe-se que a máquina varia com um desvio padrão de cerca de 0,8 lbs. Qual é o tamanho da amostra necessária para ter 99% de confiança de que a pressão de inflação média está dentro de uma margem de erro de M = 0,10 lbs?
Resposta

Perceba que a máquina é uma “população” em que cada “calibrada” constitui um elemento desta população. Ainda, o número de calibradas da máquina é um valor infinito. Então, consideremos uma população infinita para realizarmos os cálculos. Logo, temos:

\[ n = \frac{2.576^2 \cdot 0,8^2}{0,1^2} \approx 425 \]

Utilizando a função sizen do R tem-se:

sizen(parameter='mean',sigma2=0.8^2,me=0.1,conf.level=0.99)

## [1] 425

3. Uma deputada estadual deseja pesquisar os residentes de seu Estado para ver que porporção do eleitorado está ciente de sua posição sobre o uso de fundos estaduais para pagar abortos.
1. Que tamanho de amostra é necessário se o IC de 95% de \(\pi\) tiver amplitude de no máximo 0,10 sem considerar \(\pi\)?
Resposta

Para considerarmos uma ampliturde de 0,10, então a margem de erro precisa ser no máximo de 0,05. Como não foi fornecido um candidato para \(\pi\), vamos considerar tal valor como 0,5 e colocar na fórmula conforme já visto em sala de aula. Então, tem-se:

\[ n = \frac{1.96^2\cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,05^2} = 384,14 \approx 384 \]

Utilizando a função disponível no link http://nbcgib.uesc.br/lec/download/material_didatico/r_files/est_infer/sizen.R temos:

sizen(parameter='proportion',pii=0.5,me=0.05)

## [1] 384

2. Se a deputada tem forte razão para acreditar que pelo menos 2/3 do eleitorado sabem de sua posição, quão grande você recomendaria que o tamanho da amostra fosse?
Resposta

Neste caso temos um candidato para \(\pi=2/3=0,6667\). Então, utilizando a função citada temos:

sizen(parameter='proportion',pii=0.6667,me=0.05)

## [1] 341

4. Em quanto o tamanho da amostra n deve ser aumentado se a amplitude do IC para média considerando sigma conhecido for reduzido à metade?Se o tamanho da amostra for aumentado por um fator de 25, que efeito terá sobre a amplitude do intervalo? Justifique suas afirmações.
Resposta

O limite superior (LS) de um intervalo é calculado como \(\bar{x}+ME\) e o limite inferior (LI) como \(\bar{x}-ME\). A amplitude é o LS-LI. Então, \(A = 2\cdot ME\). Vamos chamar de \(A'\) a nova amplitude reduzida a metade. Então temos:

\[ A' = \frac{A}{2} \\ 2\cdot 2*\frac{\sigma^2}{n'} = 2\cdot \frac{\sigma^2}{n}\\ 4 \cdot \frac{\sigma^2}{n'} \cdot n= 2\cdot \sigma^2 \]

Resolvendo a equação temos que \(n' = 2\cdot n\). Logo, a amostra precisa ser duplicada para reduzirmos a amplitude à metade.

5. Acredita-se que os salários iniciais anuais para os graduados de faculdade com diploma em administração de empresas tenham um desvio-padrão de aproximadamente US$ 2.000. Considere que se deseja uma estimativa por intervalo de confiança de 95% do salário médio inicial anual. De que tamanho deve ser uma amostra se a margem de erro for de:
1. US$ 500?
Resposta

sizen(sigma2=2000^2,me=500)

## [1] 61

2. US$ 200?
Resposta

sizen(sigma2=2000^2,me=200) 

## [1] 384

3. US$ 100?
Resposta

sizen(sigma2=2000^2,me=100) 

## [1] 1537

6. O instituto de Turismo do Estado da Flórida planeja amostrar visitantes das maiores praias de todo o estado para estimar a proporção de visitantes que não residem na Flórida. As estimativas preliminares são de 55% dos visitantes não sejam residentes.
1. Que tamanho da amostra deve ser tomada para se estimar a proporção de visitantes de fora do estado com uma margem de erro de 3%? Use um nível de confiança de 95%.
Resposta

sizen(parameter='proportion',pii=0.55,me=0.03) 

## [1] 1056

2. Que tamanho de amostra deve ser tomada se a margem de erro for aumentada para 6%?
Resposta

sizen(parameter='proportion',pii=0.55,me=0.06) 

## [1] 264

7. Uma indústria produz semanalmente 10000 peças de amortecedores dianteiros. Se o controle de qualidade é feito semanalmente, quantas amostras devem ser coletadas, para produzir um amortecedor com uma margem de erro de 0,05Hz de frequência com 99% de confiança e sabendo que o desvio padrão para tal frequência é de 1Hz.
Resposta

Neste caso temos a informação do tamanho da população. Então iremos utilizar outra metodologia para cálculo do tamanho da amostra. Logo,

\[ n = \frac{2,576^2 \cdot 1^2 \cdot 10000}{0,05^2\cdot(10000-1) + 2,576^2\cdot 1^2} \approx 2098 \]

sizen(parameter='mean',sigma2=1,me=0.05,N=10000,conf.level=0.99) 

## [1] 2098