Intervalos de confiança para proporção e determinação do tamanho amostral

Exercícios

1. Uma pesquisa de 611 funcionários de escritório investigou seus hábitos de atendimento ao telefone, incluindo a frequência com que cada funcionário de escritório era capaz de atender às chamadas telefônicas e com qual frequência as chamadas telefônicas chegavam diretamente ao correio de voz. Ao todo, 281 funcionários de escritório indicaram que nunca precisavam do correio de voz e que eram capazes de responder a cada chamada telefônica.
1. Qual é a estimação por ponto da proporção da população de funcionários de escritório que são capazes de atender a cada chamada telefônica?
Resposta

A estimação pontual é: \[ p = \frac{281}{611} = 0,46 \]

2. Com 90% de confiança, qual é a margem de erro?
Resposta

O nível de significância é de \(\alpha=0,1\). Então precisamos entrar o quantil da normal padrão com este nível de significância. Utilizando a função qnorm tem-se:

qnorm(0.05)

## [1] -1.644854

O erro padrão de p é:

\[ \sigma_{p} = \sqrt{\frac{0,46\cdot0,54}{611}} = 0,02016 \]

Portanto a margem de erro é \(ME = 1,64\cdot0,02016 = 0,03306\)

3. Qual é o intervalo de confiança de 90% da proporção da população de funcionários de escritório que são capazes de atender a cada chamada telefônica?
Resposta

Basta somarmos e subtraírmos o estimador da margem de erro. Logo, \(IC(90\%,\mu) = (0,46 - 0,03306;0,46 + 0,03306) = (0,4269;0,4931)\). Utilizando a função disponível no link http://nbcgib.uesc.br/lec/download/material_didatico/r_files/est_infer/conf.prop.R, tem-se:

conf.prop(x=0.46,n=611,conf.level=0.90)

## $est_pontual
## Proporção amostral 
##               0.46 
## 
## $erro_pad
## Proporção amostral 
##           0.020163 
## 
## $quantil
## [1] -1.644854  1.644854
## 
## $intervalo
## [1] 0.4268348 0.4931652

2. Uma amostra de 10.000 itens de uma população foi inspecionada e o número de defeitos por peça foi registrado na tabela abaixo:

Número de defeitos	0	1	2	3	4
Frequência absoluta	6000	3200	600	150	50

1. Chamando de \(\pi\) a proporção de itens defeituosos nessa produção, determinar os limites de confiança de 98% de \(\pi\).
Resposta

A proporção de itens defeituos, são todos aqueles que apresentaram um ou mais defeitos. Então, se somarmos estas peças, temos um total de 4.000 peças. Logo, a propoção p estimada é de \(p = 4.000/10.000 = 0,4\). Logo, como os cálculos já foram delhados nos exercícios anteriores, vamos utilizar diretamente a função conf.prop.

ic = conf.prop(x=0.4,n=10000,conf.level=0.98)
ic

## $est_pontual
## Proporção amostral 
##                0.4 
## 
## $erro_pad
## Proporção amostral 
##        0.004898979 
## 
## $quantil
## [1] -2.326348  2.326348
## 
## $intervalo
## [1] 0.3886033 0.4113967

2. Qual o erro de estimação cometido em (a).
Resposta

Basta subtraírmos o estimador de um dos limites de confiança calculado. Logo, \(0,40 - 0,3886 = 0,0114\). Com o R temos:

me = ic[[2]]*ic[[3]][2]
me

## Proporção amostral 
##         0.01139673

3. Uma deputada estadual deseja pesquisar os residentes de seu Estado para ver que porporção do eleitorado está ciente de sua posição sobre o uso de fundos estaduais para pagar abortos.
1. Que tamanho de amostra é necessário se o IC de 95% de \(\pi\) tiver amplitude de no máximo 0,10 sem considerar \(\pi\)?
Resposta

Para considerarmos uma ampliturde de 0,10, então a margem de erro precisa ser no máximo de 0,05. Como não foi fornecido um candidato para \(\pi\), vamos considerar tal valor como 0,5 e colocar na fórmula conforme já visto em sala de aula. Então, tem-se:

\[ n = \frac{1.96^2\cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,05^2} = 384,14 \approx 384 \]

Utilizando a função disponível no link http://nbcgib.uesc.br/lec/download/material_didatico/r_files/est_infer/sizen.R temos:

sizen(parameter='proportion',pii=0.5,me=0.05)

## [1] 384

2. Se a deputada tem forte razão para acreditar que pelo menos 2/3 do eleitorado sabem de sua posição, quão grande você recomendaria que o tamanho da amostra fosse?
Resposta

Neste caso temos um candidato para \(\pi=2/3=0,6667\). Então, utilizando a função citada temos:

sizen(parameter='proportion',pii=0.6667,me=0.05)

## [1] 341

4. Em quanto o tamanho da amostra n deve ser aumentado se a amplitude do IC para média considerando sigma conhecido for reduzido à metade?Se o tamanho da amostra for aumentado por um fator de 25, que efeito terá sobre a amplitude do intervalo? Justifique suas afirmações.
Resposta

O limite superior (LS) de um intervalo é calculado como \(\bar{x}+ME\) e o limite inferior (LI) como \(\bar{x}-ME\). A amplitude é o LS-LI. Então, \(A = 2\cdot ME\). Vamos chamar de \(A'\) a nova amplitude reduzida a metade. Então temos:

\[ A' = \frac{A}{2} \\ 2\cdot 2*\frac{\sigma^2}{n'} = 2\cdot \frac{\sigma^2}{n}\\ 4 \cdot \frac{\sigma^2}{n'} \cdot n= 2\cdot \sigma^2 \]

Resolvendo a equação temos que \(n' = 2\cdot n\). Logo, a amostra precisa ser duplicada para reduzirmos a amplitude à metade.

5. Acredita-se que os salários iniciais anuais para os graduados de faculdade com diploma em administração de empresas tenham um desvio-padrão de aproximadamente US$ 2.000. Considere que se deseja uma estimativa por intervalo de confiança de 95% do salário médio inicial anual. De que tamanho deve ser uma amostra se a margem de erro for de:
1. US$ 500?
Resposta

sizen(sigma2=2000^2,me=500)

## [1] 61

2. US$ 200?
Resposta

sizen(sigma2=2000^2,me=200) 

## [1] 384

3. US$ 100?
Resposta

sizen(sigma2=2000^2,me=100) 

## [1] 1537

6. O instituto de Turismo do Estado da Flórida planeja amostrar visitantes das maiores praias de todo o estado para estimar a proporção de visitantes que não residem na Flórida. As estimativas preliminares são de 55% dos visitantes não sejam residentes.
1. Que tamanho da amostra deve ser tomada para se estimar a proporção de visitantes de fora do estado com uma margem de erro de 3%? Use um nível de confiança de 95%.
Resposta

sizen(parameter='proportion',pii=0.55,me=0.03) 

## [1] 1056

2. Que tamanho de amostra deve ser tomada se a margem de erro for aumentada para 6%?
Resposta

sizen(parameter='proportion',pii=0.55,me=0.09) 

## [1] 117