Distribuições amostrais

Exercícios

1. Seja \(X \sim N(900,642)\). Retiramos uma amostra de tamanho \(30\). Determinar:
1. P(\(\bar{X} \le 894\))
Resposta

Perceba que a variável aleatória é \(\bar{X}\). Logo, temos que olhar para a distribuição amostral de \(\bar{X}\) e não de X. Como o valor esperado de \(\bar{X}=900\),precisamos apenas calcular o erro padrão da média e depois utilizar algum software para encontrar a probabilidade pedida. Se atente que o valor indicado \(642\) corresponde a variância da população. Então, \(\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{642/30} = 4,626\). Logo,

pnorm(894,mean=900,sd=4.626)

## [1] 0.09731269

2. P(\(896 \le \bar{X} \le 903\))
Resposta

Utilizando as informações fornecidas na letra a) tem-se:

pnorm(903,mean=900,sd=4.626) - pnorm(896,mean=900,sd=4.626)

## [1] 0.5480641

3. P(\(\bar{X} - 3\sigma_{\bar{X}} < \mu < \bar{X} + 3\sigma_{\bar{X}}\))
Resposta

Já sabemos que independentemente de qual é a variável aleatória em questão, a área que compreende da média mais 1,2,3,etc desvio padrões da média é conhecida. Logo, basta olharmos direto para a normal padrão para calcularmos qual é a probabilidade da variável aleatória estar entre 3 desvios padrões. No entanto, para treino, iremos fazer das duas formas e constatarmos os mesmos resultados.

pnorm(3) - pnorm(-3)

## [1] 0.9973002

pnorm(900 + 3*4.626, mean=900,sd=4.626) - pnorm(900 - 3*4.626, mean=900,sd=4.626) 

## [1] 0.9973002

2. A proporção populacional é \(0,30\). Qual é a probabilidade de a proporção amostral estar dentro de \(\pm 0,04\) da proporção populacional correspondente a cada um dos seguintes tamanhos de amostra?
1. n = 100
Resposta

Perceba que a probabilidade pedida é \(P(0,30 - 0,04 < \pi < 0,30 + 0,04) = P(0,26 < \pi < 0,34)\). Já vimos que \(p\) tem distribuição aproximadamente normal. Como o valor esperado é \(\pi\), ou seja, \(0,30\), então precisamos calcular o erro padrão de \(p\) para cada tamanho de amostra, já que vimos que o erro padrão do estimador depende do tamanho amostral. Então, para \(n=100\) tem-se o seguinte erro padrão: \(\sigma_{p} = \sqrt{[0,30\cdot(1-0,30)]/100} = 0,0458\).

pnorm(0.34,mean=0.3,sd=0.0458) - pnorm(0.24,mean=0.3,sd=0.0458)

## [1] 0.7136767

2. n = 500
Resposta

Neste caso, para \(n=500\) tem-se o seguinte erro padrão: \(\sigma_{p} = \sqrt{[0,30\cdot(1-0,30)]/500} = 0,02049\).

pnorm(0.34,mean=0.3,sd=0.02049) - pnorm(0.24,mean=0.3,sd=0.02049)

## [1] 0.9728368

3. Um estudo de 1993 realizado por The Orlando Sentinel forneceu dados sobre o tempo dos clientes que esperam para serem atendidos nos restaurantes Burger King¿s, McDonald¿s e Wendy¿s. Considere que o tempo médio de espera da população para um pedido de drive-through seja quatro minutos e que o desvio-padrão da população seja de 1,5 minuto.
1. Suponha que seja selecionada uma amostra de 60 clientes de drive-through e que o tempo médio de espera da amostra seja calculado. Mostre a distribuição de amostragem para a média da amostra.
Resposta

A distribuição amostral da média é normal com parâmetros (\(\mu=4\) e \(\sigma_{\bar{X}} = 1,5/\sqrt{60}\)). Graficamente temos:

curve(dnorm(x,mean=4,sd=1.5/sqrt(60)),2,6)



2. Qual é a probabilidade de que o tempo médio de espera da amostra esteja dentro de \(\pm\) 0,25 minutos do tempo médio de espera da população?
Resposta

Neste caso a probabilidade pedida é P(\(4-0,25<\mu<4+0,25\)) = P(\(3,75<\mu<4,25\)). Então,

pnorm(4.25,mean=4,sd=1.5/sqrt(60))-pnorm(3.75,mean=4,sd=1.5/sqrt(60)) 

## [1] 0.8032944

4. O tempo médio de viagem para o trabalho para os habitantes de Chicago é de 31,5 minutos. Considere que a média da população seja \(\mu = 31,5\) minutos e o desvio-padrão da população seja \(\sigma=12\) minutos. Uma amostra de 50 residentes de Chicago é selecionada.
1. Mostre a distribuição amostral de \(\bar{x}\), onde \(\bar{x}\) é o tempo médio de viagem para o trabalho da amostra para os 50 residentes de Chicago.
Resposta

A distribuição amostral de \(\bar{x}\) é normal com média \(\mu=31,5\) e erro padrão \(\sigma_{\bar{x}} = 12/\sqrt{50}\).

2. Qual é a probabilidade de que a média da amostra estará dentro de \(\pm 1\) minuto para a média da população?
Resposta

A probabilidade pedida é P(\(31,5 - 1 < \mu < 31,5 + 1\)) = P(\(30,5 < \mu < 32,5\)). Logo,

pnorm(32.5,mean=31.5,sd=12/sqrt(50))-pnorm(30.5,mean=31.5,sd=12/sqrt(50)) 

## [1] 0.4443102

3. Qual é a probabilidade de que a média da amostra estará dentro de \(\pm 3\) minutos para a média da população?
Resposta

A probabilidade pedida é P(\(31,5 - 3 < \mu < 31,5 + 3\)) = P(\(28,5 < \mu < 34,5\)). Logo,

pnorm(34.5,mean=31.5,sd=12/sqrt(50))-pnorm(28.5,mean=31.5,sd=12/sqrt(50)) 

## [1] 0.9229001

5. Qual é o fator mais importante para as pessoas que viajam a negócios quando estão hospedados em um hotel? De acordo com o USA Today, 74% desses viajantes declaram que ter um quarto para fumante é o fator mais importante. Considere que a proporção da população seja \(\pi=0,74\) e que uma amostra de 200 viajantes será selecionada.
1. Mostre a distribuição de amostragem de p, a proporção de viajantes da amostra que declaram que um quarto para fumantes é o fator mais importante quando hospedados em um hotel.
Resposta

Já estudamos que a distribuição amostral de \(p\) é aproximadamente normal com parâmetros \(\mu=\pi\) e \(\sigma_{p} = \sqrt{0.74\cdot 0.26/200}\)

2. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de \(\pm 0,04\) da proporção da população?
Resposta

Sempre a mesma ideia de exercícios anteriores. A probabilidade pedida é P(\(0,74 - 0,04 < \pi < 0,74 + 0,04\)) = P(\(0,70 < \pi < 0,78\)). Logo,

pnorm(0.78,mean=0.74,sd=sqrt(0.74*0.26/200))-pnorm(0.70,mean=0.74,sd=sqrt(0.74*0.26/200)) 

## [1] 0.8028284

3. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de \(\pm 0,02\) da proporção da população?
Resposta

Sempre a mesma ideia de exercícios anteriores. A probabilidade pedida é P(\(0,74 - 0,02 < \pi < 0,74 + 0,02\)) = P(\(0,72 < \pi < 0,76\)). Logo,

pnorm(0.76,mean=0.74,sd=sqrt(0.74*0.26/200))-pnorm(0.72,mean=0.74,sd=sqrt(0.74*0.26/200)) 

## [1] 0.48096