Análise de variância (ANOVA)

Exercícios

1. Um experimento foi conduzido para investigar os efeitos de três diferentes dietas no ganho diário de peso (g) em suínos. As dietas são denotadas como TR1, TR2 e TR3. Cinco suínos foram alimentados com cada dieta. Os dados estão apresentados na seguinte tabela.

trat	vari
TR1	270
TR1	300
TR1	280
TR1	280
TR1	270
TR2	290
TR2	250
TR2	280
TR2	290
TR2	280
TR3	290
TR3	340
TR3	330
TR3	300
TR3	300

1. Formule as hipóteses para testar a diferença entre os tratamentos.
Resposta

As hispóteses são:

\[ H_0: \mu_{TR1} = \mu_{TR2} = \mu_{TR3} \\ H_a: \mu_{TRi} \neq \mu_{TRj} \]

2. Faça uma análise de variância e tire as devidas conclusões.
Resposta

mod = aov(vari ~ trat,
         dados)
summary(mod)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## trat         2   3640  1820.0   6.135 0.0146 *
## Residuals   12   3560   296.7                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se considerarmos um \(\alpha=0,05\) rejeitamos \(H_0\), ou seja, pelo menos um dos tratamentos difere dos demais. No entanto, somente após a análise de resíduos poderemos confirmar os resultados.

3. Avalie os pressupostos.
Resposta

Avaliando a normalidade por meio da gráfico qqplot tem-se:

erros <- residuals(mod)
qqnorm(erros)
qqline(erros)



O gráfico não deixa dúvidas de que os erros são normalmente distribuídos.

Utilizando o teste de shapiro-wilk tem-se:

shapiro.test(erros)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  erros
## W = 0.97254, p-value = 0.8937

Que confirma a análise gráfica.

Quanto a homocedasticidade tem-se:

plot(erros ~ fitted(mod))
abline(h = 0,col='red')



A análise gráfica sob o meu ponto de vista é inconclusivo. Logo, irei lançar do teste F-máximo de Hartley.

variancias <- with(dados,tapply(vari,trat,var))
Fmaximo <- max(variancias)/min(variancias)
pf(Fmaximo,4,4,lower.tail=FALSE)

## [1] 0.147276

Portanto, se adotarmos um \(\alpha=0,01\), não rejeita-se a hipótese de homocedasticidade.

Logo, os pressupostos foram atendidos.

2. O artigo “Origin of precambrian iron formations” (Econ. Geology, 1964:1025-1057) relata os seguintes dados sobre o total de Fe de quatro tipos de formação de ferro (t1=carbonato, t2=silicato, t3=magnetita, t4=hematita).

Tipos	resp
t1	20.5
t1	28.1
t1	27.8
t1	27.0
t1	28.0
t1	25.2
t1	25.3
t1	27.1
t1	20.5
t1	31.3
t2	26.3
t2	24.0
t2	26.2
t2	20.2
t2	23.7
t2	34.0
t2	17.1
t2	26.8
t2	23.7
t2	24.9
t3	29.5
t3	34.0
t3	27.5
t3	29.4
t3	27.9
t3	26.2
t3	29.9
t3	29.5
t3	30.0
t3	35.6
t4	36.5
t4	44.2
t4	34.1
t4	30.3
t4	31.4
t4	33.1
t4	34.1
t4	32.9
t4	36.3
t4	25.5

1. Faça uma análise de variância e tire as devidas conclusões.
Resposta

mod2 = aov(resp ~ Tipos,
         dados2)
summary(mod2)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    
## Tipos        3  509.1  169.71   10.85 3.2e-05 ***
## Residuals   36  563.1   15.64                    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se consideramos um \(\alpha=0.01\) rejeitamos \(H_0\), ou seja, pelo menos um dos tipos de formação difere dos demais. Obviamente que precisamos avaliar os pressupostos para ratificarmos a conclusão.

2. Avalie os pressupostos.
Resposta

Avaliando a normalidade por meio da gráfico qqplot tem-se:

erros <- residuals(mod2)
qqnorm(erros)
qqline(erros)



Pela análise gráfica, é provável que os dados não tem distribuição normal. Precisamos lança mão de um teste inferencial. O teste de shapiro-wilk é um bom teste quando o tamanho total de observações não ultrapassa 30. Acima deste valor o teste vai perdendo o poder de rejeição de \(H_0\), ou seja, vai aumentando a taxa de erro do tipo II. Logo, para observações total acima de 30 recomenda-se o teste de Lilliefors.

Primeiro vamos utilizar o teste de shapiro-wilk e depois o teste de Lilliefors.

shapiro.test(erros)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  erros
## W = 0.95406, p-value = 0.1046

library(nortest)
lillie.test(erros)

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  erros
## D = 0.14723, p-value = 0.0289

Conforme explicado, o teste de shapiro-wilk não rejeitou a hipótese de normalidade, contrariando a análise gráfica. Já o teste de Lilliefors rejeitou a hipótese de normalidade confirmando a análise gráfica. Portanto, os erros não tem distribuição considerando um \(\alpha=0,05\).

Quanto a homocedasticidade tem-se:

plot(erros ~ fitted(mod2))
abline(h = 0,col='red')



Pela análise gráfica não há razões para rejeitarmos a hipótese de homocedasticidade. Mesmo assim vamos utilizar o teste F-máximo de Hartley.

variancias <- with(dados2,tapply(resp,Tipos,var))
Fmaximo <- max(variancias)/min(variancias)
pf(Fmaximo,9,9,lower.tail=FALSE)

## [1] 0.06634817

Portanto, se adotarmos um \(\alpha=0,01\), não rejeita-se a hipótese de homocedasticidade.

Logo, os pressupostos foram atendidos.

3. Foram analisadas seis amostras de cada um dos quatro tipos de grão de cereal cultivados em uma região para determinar o teor de tiamina, o que gerou os seguintes dados (\(\mu\)g/g):

culv	resp
trigo	5.2
trigo	4.5
trigo	6.0
trigo	6.1
trigo	6.7
trigo	5.8
cevada	6.5
cevada	8.0
cevada	6.1
cevada	7.5
cevada	5.9
cevada	5.6
milho	5.8
milho	4.7
milho	6.4
milho	4.9
milho	6.0
milho	5.2
aveia	8.3
aveia	6.1
aveia	7.8
aveia	7.0
aveia	5.5
aveia	7.2

1. Faça uma análise de variância e tire as devidas conclusões.
Resposta

mod3 = aov(resp ~ culv,
         dados3)
summary(mod3)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## culv         3  8.983  2.9944   3.957 0.0229 *
## Residuals   20 15.137  0.7568                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se consideramos um \(\alpha=0.05\) rejeitamos \(H_0\), ou seja, pelo menos um dos tipos de cultivar difere dos demais. Obviamente que precisamos avaliar os pressupostos para ratificarmos a conclusão.

2. Avalie os pressupostos.
Resposta

Avaliando a normalidade por meio da gráfico qqplot tem-se:

erros <- residuals(mod3)
qqnorm(erros)
qqline(erros)

A análise gráfica não deixa dúvidas de que os erros tem distribuição normal. Segue os testes inferenciais apenas como prática.

shapiro.test(erros)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  erros
## W = 0.97297, p-value = 0.7403

lillie.test(erros)

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  erros
## D = 0.10616, p-value = 0.6906

Quanto a homocedasticidade tem-se:

plot(erros ~ fitted(mod3))
abline(h = 0,col='red')



Pela análise gráfica não há razões para rejeitarmos a hipótese de homocedasticidade. Mesmo assim vamos utilizar o teste F-máximo de Hartley.

variancias <- with(dados3,tapply(resp,culv,var))
Fmaximo <- max(variancias)/min(variancias)
pf(Fmaximo,5,5,lower.tail=FALSE)

## [1] 0.1767729

Portanto, se adotarmos um \(\alpha=0,01\), não rejeita-se a hipótese de homocedasticidade.

Logo, os pressupostos foram atendidos.

4. O artigo “Computer-assisted instruction augmented with planned teacher/student contacts” (J. of Exp. Educ., Winter, 1980-1981:120-126) comparou cinco métodos diferentes para o ensino de estatística descritiva. Os cinco métodos foram: aula e discussão tradicionais (A/D), instrução programada por meio de livros de referência (L), texto programado com aulas (L/A), instrução por computador (C) e instrução por computador com aula (C/A). Quarenta e cinco alunos foram escolhidos aleatoriamente, 9 para cada método. Após a conclusão do curso, os alunos foram submetidos a um exame de 1 hora de duração. Além disso, um teste de memória de 10 minutos foi administrado seis semanas depois. Dados resumidos estão na tabela a seguir:

	Exame		Teste de memória
Método	\(\bar{x}_i\)	\(s_i\)	\(\bar{x}_i\)	\(s_i\)
A/D	29.3	4.99	30.2	3.82
L	28.0	5.33	28.8	5.26
L/A	30.2	3.33	26.2	4.66
C	32.4	2.94	31.1	4.91
C/A	34.2	2.74	30.2	3.53

A média geral do exame foi \(30,82\) e a média geral do teste de memória foi \(29,3\).

1. Os dados sugerem que há uma diferença entre os cincos métodos de ensino em relação à pontuação média verdadeira do exame? Use \(\alpha=0,05\).
Resposta

Quebre a cabeçinha para resolver!!

2. Usando um nível de significância de \(0,05\), teste a hipótese nula de que não há nenhuma diferença entre as pontuações médias verdadeiras do teste de memória para os cincos diferentes métodos de ensino.
Resposta

Quebre a cabeçinha para resolver!!

5. Um artigo publicado no periódico científico britânico Nature (“Sucrose induction of hepatic hyperplasia in the rat”, 25 ago. 1972:461) relata um experimento no qual cinco grupos compostos por seis ratos cada foram submetidos a uma dieta com diferentes carboidratos. Ao final do experimento, determinou-se o teor de DNA (mg/g do fígado) no fígado de cada rato, gerando os seguiintes resultados:

Carboidrato	\(\bar{x}_i\)
Amido	2.58
Sacarose	2.63
Frutose	2.13
Glicose	2.41
Maltose	2.49

Supondo ainda que \(\sum\sum x_{ij}^2 = 183,4\), os dados indicam que o teor de DNA médio verdadeiro é influenciado pelo tipo de carboidrato na dieta? Faça uma tabela ANOVA e use um nível de significância de 0,05.

Resposta

Quebre a cabeçinha para resolver!!