Esse é um problema do tipo algébrico. Nestes problemas sempre é interessante supormos alguns valores para a variável em questão com o intuito de enchergar melhor a resolução do problema. Vamos considerar três situações para n, ou seja, \(n=3, n=4\) e \(n=5\). Determinaremos o espaço amostral em cada situação e também o evento de interesse que iremos chamar de A. Segue então uma figura com o raciocínio descrito.
Percebemos na figura acima, que o número de inteiros consecutivos de interesse é sempre o número de elementos menos um. Então, o número de elemento do nosso evento de interesse é igual a \(n(A) = n - 1\). Precisamos agora determinar o espaço amostral. Para determinarmos o espaço amostral em situações que envolve amostragem sem reposição cujo a ordem dos elementos não importa é feito pela combinatória. Logo temos:
\[
n(\Omega) = \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}
\]
Portanto, a probabilidade pedida é igual a:
\[
P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}
\]
Neste caso, irei deixar você detalhar o raciocínio para a resolução do problema. Basta seguir a mesma idéia da figura anterior. Veremos também, que o número de pontos amostrais do nosso evento de interesse A continua sendo \(n-1\). Então precisamos apenas determinar o espaço amostral. Não há uma fórmula única nos casos que envolve amostragens com reposição e cujo a ordem dos elementos não importa. No entanto, podemos combinar processos de contagem para determinarmos o espaço amostral nestas situações. O número de amostras ordenadas com reposição de tamanho n, de um conjunto com N elementos é igual a \(N^n\). Vamos supor \(N=3\), ou seja, temos três elementos em que duas bolas são retiradas ao acaso, obedecendo o problema proposto. Então, o espaço amostral neste caso tem nove elementos, \(n(\Omega) = 3^2 = 9\).Vamos ver os eventos que compõe este espaço amostral.
\[
\Omega = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}
\]
No espaço amostral acima, os eventos \((1,2),(2,1)\), também \((1,3),(3,1)\) e \((2,3),(3,2)\) são considerados os mesmos eventos. Então precisamos excluir a duplicidade dos eventos. A combinatória é uma técnica que evita estas duplicidades. Se fizermos a combinatória de 3 elementos tomados dois a dois, como é o caso proposto, temos um total de 3 elementos. Portanto, se retiramos do espaço amostral listado estes eventos temos um novo espaço amostral, ou seja:
\[
\Omega = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\}
\]
Em termos algébricos, podemos determinas \(n(\Omega)\) como:
\[
n(\Omega) = N^n - \binom{N}{n}.
\]
No problema em questão, \(N = n\) e \(n = 2\). Logo, o tamanho do espaço amostral é:
\[
n(\Omega) = n^2 - \binom{n}{2} = n^2 - \frac{n!}{2!(n-2)!} = n^2 - \frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!} = n^2 - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n^2 - n(n-1)}{2}=\frac{n^2 + n}{2}
\]
Portanto, o cálculo da probabilidade pedida é:
\[
P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{n-1}{\frac{n^2 + n}{2}}=\frac{2n-2}{n^2+n}
\]
